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サンクトペテルブルクのパラドクス - パラドクス入門

期待値」というものはご存知でしょうか?

例えば「1/3の確率で10円、1/3の確率で100円、1/3の確率で1000円が貰える」賭けが有ったとしましょう。

この賭け、皆さんなら賭け金がいくらならやりますか?


それを考えるにあたって、当然「この賭けはいくら位の返金が期待できるのだろう」と考えます。そこで考えるのが「期待値」です。

期待値とは簡単に言うと「(値×その値が返って来る確率)を全ての値について合計したもの」の事です。このつまり賭けの期待値は、

a.png

となります。

期待値とは簡単に言えば「見込みの値」「返って来る値の平均」です。つまりこの賭けでの返金額の見込み、あるいは平均値は「370円」ということです。

という事は、賭け金が369円以下ならこの賭けに参加する価値が有ると言えますね!

年末ジャンボ宝くじは賭け金が1口300円です。しかし、期待値は140~150円程度だそうです。実は宝くじは買うと損をする賭けなんですねw(とはいえローリスクで当たった時はデカイですし、収益金は公共事業に当てられるので、この事実だけで宝くじは買わない方が良い!というのは暴論ではないかと思いますがw)


ではここで、もし仮に「返金額の期待値が無限大の賭け」が有ったとしましょう。

先ほどのと同じように考えれば、あなたは賭け金が100億円だろうと1兆円だろうと、この賭けをやる価値が有ると言う事になります。

もし「宝くじなんて買う価値がない」という期待値原理主義のあなた!この賭けならば賭け金1兆円でもやりますよね?

「無限円なんて用意できないだろう。現実にはそんな賭けは出来っこない」と思いますよね?

だけど、無限円なんて用意できなくても、至極簡単なルールで、期待値が無限大の賭けが成立してしまうのです。

詳しくは「続きを読む」からどうぞ!

ルールは簡単!
偏りのないコイン(1/2で表、1/2で裏がでる)を表が出るまで投げ続け、表がでたときに、賞金をもらえるゲームがあるとします。

つまりもらえる賞金は1回目に表がでたら1円、1回目は裏で2回目に表がでれば倍の2円、2回目まで裏で3回目が表ならまたその倍の4円というふうに倍々でふえると言う事です。

少し頭よさげに表すと、表が出るまでに投げた回数を n とすると、2^(n-1)円もらえるのである(2をn-1回かけた金額ということです)。10回目に表が出れば512円(2^9=512)、20回目に出れば52万4288円(2^19=524,288)、30回目なら5億3687万0912円(2^29=536,870,912)です。

では、この賭けの期待値はどんなもんでしょうか?

コインの裏表の順  返金額(円)   確率 
1 1/2
裏表 2 1/4
裏裏表 4 1/8
裏裏裏表 8 1/16
裏裏…裏表 2^(n-1) 1/(2^n)


簡単に表にしてみました。たとえば、8円返って来る時は、裏が3回出た後に表が出る時なので
(1/2)×(1/2)×(1/2)×(1/2)=1/8

となります。

表の傾向から、返金額が2^(n-1)になる確率が1/(2^n)になる事はすぐわかると思います。ピンとこない方はnに1から順番に数字を代入してみてください。

と、言う事は、この賭けの期待値はどうなるでしょう?

eqn.png

結局1/2を無限回足し合わせることになり、答え、つまり返金額の期待値は無限大です。

つまり、例えこの賭けは賭け金が何円であったとしても、やる価値のある賭けであると言えるのです。

しかし!現実には無限に表が出続けることなどあり得ません。必ず賞金は有限です。つまり事前に上限額を提示しなければ胴元は無限円を持っていなくてもOKなのです!


もちろん、実際は胴元が50万しか持っていなければ、裏が連続19回以上出ると支払いができないので、nの上限が19となるので期待値は有限になるのですがw

まぁ結局現実にこれをやると俗に言う「イカサマ」ですが、思考実験においては何ら矛盾はありません。

しかし!しかしですよ!?
1/2の確率で1円、1/1024の確率でやっと512円のルールです。それなのに確率論的には例え1兆円の賭け金でもやる価値が有るというのです!!

常識的に考えて、明らかにそんな価値が有るとは思えませんよね?

このように、仮定から妥当に見える推論から導き出される結果が、受け入れがたいものになってしまう現象を「パラドクス」といいます。

パラドクスには様々なものが有りますが、今回のパラドクスはこの賭けのルールを考えた数学者のダニエル・ベルヌーイの住んでいた町から、「サンクトペテルブルクのパラドクス」と言います。

受け入れがたい結論ですが、期待値が無限大になるのは確率論的な事実です

ですが、実際はこんな賭けに1兆円も出すバカヤロウは居ません。常識的にはおかしいのです。
私の計算が間違っているのでしょうか?そもそも期待値というものは意味のないものなのでしょうか?いえいえどちらも違います。

計算は正しいですし、期待値はあらゆる分野で用いられる普遍的な価値のある量です。

ならば、このパラドクスはどう解決するのか?

先ほどのパラドクスの説明で「妥当に見える推論」という表記に引っ掛かった人もいるでしょう。「妥当に見える」ということはつまり、実際は妥当ではないと言う事です。ではここで言う推論とは何か。

「賭けの価値を期待値で算出しようとした」事です。これが間違っているのです。

では、期待値以外でこの賭けの価値をどう評価するのか?ベルヌーイは「効用」という概念によって、期待値とは異なる価値の評価をすることでこのパラドクスを見事に解決しています!

効用とは何か。期待値と何が違うのか。



…この記事の余白はそれを解説するには狭すぎる。



という事で、効用の解説は次回の記事に回したいと思いま~すw

一言で説明するなら, 「期待値」とは「客観的な価値」、「効用」は「主観的な価値」といったところです。

例えば、理想個体めざ氷70の加速バシャーモ。これはポケモン勢にとって垂涎ものの価値のあるポケモンです。しかしポケモンをよく知らない人からすればただのデータです。

このように、ものの価値は人によって異なります。

年末家族団らんで平和に歳を越せる家庭のお父さんは、例え期待値が低くても宝くじを買えるのです。仮に一等の配当が1兆円になって期待値が跳ね上がっても、バイトをクビになって年末をもやしだけで生活しなければならない一人暮らしの学生には買う価値がないのです。

この「客観的な価値」を計算によって普遍化したのが「効用」なのです。

では、興味の湧いた方は是非次の記事も楽しみにしておいて下さいねw
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No title

途中にフェルマーの名言が

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No title

くっだらない文章ですね
wikipediaと書いてある内容がまるっきり同じ(例えに出してある数字までもが)
また一般項を省き「どういう数式が何と等式なのか」という説明を欠落させた
授業で得た知識をただトランスレーションしてるだけ
東大はこういう自分で考えないマニュアル人間を生成する為の機関なのでしょうか

No title

初めまして、「東大生が大学院と作家と声優を目指すブログ」を書いているアルカリhikeと申します。

ハヤシさんがUPされている動画がニコニコのランキングに入っていたので、東大生でポケモン好きな自分としては「見るしかないな」と思いまして。
それでTwitterもフォローしてブログにたどりついて、今こうしてコメントしている状態ですw
書いている内容のレベルが非常に高くてビックリです…!

世の中には東大生と名乗るだけで牙を剥いてくるような人もいますが、負けずに頑張ってくださいね。
よろしければこちらのブログにも足をお運びください。ではでは!

No title

対数をとって期待値を計算する!

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No title

こういうのって結局、効用は人それぞれだから賭けたいと思った額を賭けろ!ってなりますよね。多分。
自分が賭ける側じゃなくて、賭けを設定するほうがどういう客層に向けるか。というのを考えるためのモノなんですよね。

期待値は・・・
受験生のくせにポケモンにいそしんでいた頃、マンムーの氷柱針と氷柱落としどっちがいいのか計算しようとして、怯み率とかを考え始めたら意味わからなくなって挫折しました( ̄∀ ̄)

No title

実況のリンクからなんとなく開いてみたら、面白そうなことが書いてあると思って読んでみました。なかなか分かりやすくて面白かったです。

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No title

大文字と火炎放射の期待値とかの話になると思ったら最後までまじめな話ですねw

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プロフィール

ハヤシ

Author:ハヤシ
実況者でありポケモントレーナーであり女体狂乱プレイヤーであり、その正体はアンチ下ネタ東大性。
主にポケモンについて話します。動画や生放送で使用したポケモンの紹介や、育てたいポケモンの型考察等々。育成論まがいのことを書くかもしれませんがにわかなので鵜呑みにしないほうが良いです。

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